2) \(\left(\frac{m}{mn-n^2}+\frac{n}{mn^2-2m^2n+m^3}\right):\frac{1}{n-m} \cdot \frac{mn}{m^3+n^3}\)

Решение:

Для начала преобразуем выражения в скобках.

1. Разложим знаменатели на множители:
   • \( mn-n^2 = n(m-n) \)
   • \( mn^2-2m^2n+m^3 = m(n^2-2mn+m^2) = m(n-m)^2 \)
2. Приведём дроби к общему знаменателю \( mn(m-n)^2 \):
   • \( \frac{m}{n(m-n)} = \frac{m \cdot m(m-n)}{n(m-n) \cdot m(m-n)} = \frac{m^2(m-n)}{mn(m-n)^2} \)
   • \( \frac{n}{m(n-m)^2} = \frac{n \cdot (-n)(m-n)}{m(n-m)^2 \cdot (-n)(m-n)} = \frac{-n^2(m-n)}{mn(m-n)^2} \)
3. Сложим дроби:
   • \( \frac{m^2(m-n)-n^2(m-n)}{mn(m-n)^2} = \frac{(m^2-n^2)(m-n)}{mn(m-n)^2} = \frac{(m-n)(m+n)(m-n)}{mn(m-n)^2} = \frac{m+n}{mn} \)
4. Теперь выполним деление:
   • \( \frac{m+n}{mn} : \frac{1}{n-m} = \frac{m+n}{mn} \cdot (n-m) \)
5. Умножим на последнюю дробь:
   • \( \frac{m+n}{mn} \cdot (n-m) \cdot \frac{mn}{m^3+n^3} = \frac{(m+n)(n-m)}{m^3+n^3} \)
   • Вспомним формулу суммы кубов: \( m^3+n^3 = (m+n)(m^2-mn+n^2) \)
   • Подставим: \( \frac{(m+n)(n-m)}{(m+n)(m^2-mn+n^2)} = \frac{n-m}{m^2-mn+n^2} \)

Ответ: \(\frac{n-m}{m^2-mn+n^2}\)