2. Компланарные векторы. Правило параллелепипеда. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Сделайте пояснения на примере прямоугольного параллелепипеда.

Решение:

Компланарные векторы

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны ей.

Признак компланарности: Три вектора \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \) компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: \( (\vec{a},\vec{b},\vec{c}}) = 0 \).

Правило параллелепипеда

Правило параллелепипеда используется для нахождения суммы трех компланарных векторов. Если векторы \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \) имеют общее начало, то их сумма равна диагонали параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах, исходящих из одной вершины.

\( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{d} \), где \( \vec{d} \) — диагональ параллелепипеда.

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Любой вектор \( \vec{v} \) можно разложить по трем некомпланарным векторам \( \vec{e}_1 \), \( \vec{e}_2 \), \( \vec{e}_3 \), причем коэффициенты разложения единственны. Это означает, что можно найти такие числа \( x \), \( y \), \( z \), что:

\( \vec{v} = x \vec{e}_1 + y \vec{e}_2 + z \vec{e}_3 \)

Векторы \( \vec{e}_1 \), \( \vec{e}_2 \), \( \vec{e}_3 \) называются базисом, а числа \( x \), \( y \), \( z \) — координатами вектора \( \vec{v} \) в этом базисе.

Пример на примере прямоугольного параллелепипеда

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с вершинами O(0,0,0), A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c). В качестве базиса возьмем единичные векторы \( \vec{i} = (1,0,0) \), \( \vec{j} = (0,1,0) \), \( \vec{k} = (0,0,1) \), направленные вдоль ребер, исходящих из вершины O.

Любой вектор \( \vec{v} \) в этом параллелепипеде можно представить в виде:

\( \vec{v} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k} \)

Например, вектор \( \vec{OP} \), где P — вершина параллелепипеда с координатами \( (a, b, c) \), будет иметь вид:

\( \vec{OP} = a \vec{i} + b \vec{j} + c \vec{k} \)

Здесь \( \vec{i} \), \( \vec{j} \), \( \vec{k} \) — некомпланарные векторы, которые образуют базис. Коэффициенты \( a \), \( b \), \( c \) — это координаты вектора \( \vec{OP} \) в данном базисе.

Ответ: Компланарные векторы лежат в одной плоскости. Правило параллелепипеда используется для сложения трех компланарных векторов. Любой вектор можно разложить по трем некомпланарным векторам, выразив его координаты в соответствующем базисе.