2. К окружности с центром О провели касательную CD (D - точка касания). Найти радиус окружности, если: а) CD=9 см, угол COD=45°. б) СО=12 см, угол COD=60°.

Решение:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол ODC = 90°.

а) В прямоугольном треугольнике ODC:

1. Угол ODC = 90°.
2. Угол COD = 45°.
3. Угол OCD = 180° - 90° - 45° = 45°.
4. Так как углы COD и OCD равны, треугольник ODC — равнобедренный. Следовательно, OD = CD.
5. По условию CD = 9 см.
6. Значит, радиус окружности OD = 9 см.

б) В прямоугольном треугольнике ODC:

1. Угол ODC = 90°.
2. Угол COD = 60°.
3. Угол OCD = 180° - 90° - 60° = 30°.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ODC. Сторона OD — катет, противолежащий углу OCD (30°). По свойству прямоугольного треугольника, катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.
5. Гипотенуза — СО, которая равна 12 см.
6. Следовательно, OD = СО / 2 = 12 см / 2 = 6 см.
7. Значит, радиус окружности OD = 6 см.

Ответ: а) 9 см; б) 6 см.