2. К окружности с центром O проведена касательная CD (D — точка касания). Найдите отрезок OC, если радиус окружности равен 6 см и ∠DCO = 30°.

Решение:

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle ODC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ODC \).

Известно, что \( OD \) — радиус окружности, поэтому \( OD = 6 \) см.

У нас есть прямоугольный треугольник, где нам известны один катет (OD) и один острый угол (\( \angle DCO = 30^{\circ} \)). Нам нужно найти гипотенузу (OC).

Используем тригонометрическую функцию косинус:

\[ \cos(\angle DCO) = \frac{OD}{OC} \]\[ \cos(30^{\circ}) = \frac{6}{OC} \]

Значение \( \cos(30^{\circ}) \) равно \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{OC} \]

Выразим \( OC \):

\[ OC = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\[ OC = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \] см.

Ответ: 4\( \sqrt{3} \) см.