2. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА И МВ (В и А – точки касания). Найдите АМ и ВМ, если <AMB = 90°, ОМ = 10 см.

Так как МА и МВ - касательные, то ОА перпендикулярно МА и ОВ перпендикулярно МВ. Треугольники ОАМ и ОВМ прямоугольные.

В четырехугольнике ОАМВ сумма углов равна 360°. Угол АОВ = 360° - 90° - 90° - 90° = 90°.

Так как ОА = ОВ (радиусы) и углы при основании равны, то треугольник ОАМ равен треугольнику ОВМ. Следовательно, АМ = ВМ. В прямоугольном треугольнике ОАМ, ОМ = 10 см, угол АМВ = 90°, значит угол ОМА = 45°. Треугольник ОАМ равнобедренный, ОА = АМ. По теореме Пифагора: $$OM^2 = OA^2 + AM^2$$. $$10^2 = AM^2 + AM^2 \rightarrow 100 = 2AM^2 \rightarrow AM^2 = 50 \rightarrow AM = √50 = 5√2$$ см.