2. Из точки К биссектрисы острого угла проведены перпендикуляры КР и KF к сторонам угла. Докажите, что KP = KF.

Доказательство:

1. Дано: Угол A, биссектриса AK, точка K на биссектрисе. KP \(\perp\) AB, KF \(\perp\) AC, где B и C — точки на сторонах угла.
2. Рассмотрим треугольники: \( \triangle AKP \) и \( \triangle AKF \).
3. Свойства биссектрисы: Так как AK — биссектриса угла A, то \( \angle PAK = \angle FAK \).
4. Свойства перпендикуляров: KP \(\perp\) AB и KF \(\perp\) AC, следовательно, \( \angle APK = \angle AFK = 90° \).
5. Общая сторона: Сторона AK является общей для обоих треугольников.
6. Признак равенства прямоугольных треугольников: По второму признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу), \( \triangle AKP = \triangle AKF \).
7. Следствие: Так как треугольники равны, то их соответствующие стороны равны. Следовательно, KP = KF.

Что и требовалось доказать.