2. \( \frac{5^{6} \cdot 25^{4}}{5^{7}} = ? \)

Решение

Рассмотрим выражение: \( \frac{5^{6} \cdot 25^{4}}{5^{7}} \)

Сначала представим число 25 как степень числа 5: \( 25 = 5^{2} \)

Подставим это в исходное выражение:

\( \frac{5^{6} \cdot (5^{2})^{4}}{5^{7}} \)

Применим свойство степеней \( (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n} \):

\( \frac{5^{6} \cdot 5^{2 \cdot 4}}{5^{7}} = \frac{5^{6} \cdot 5^{8}}{5^{7}} \)

Теперь применим свойство степеней \( a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n} \) в числителе:

\( \frac{5^{6+8}}{5^{7}} = \frac{5^{14}}{5^{7}} \)

Наконец, применим свойство степеней \( \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \):

\( 5^{14-7} = 5^{7} \)

Вычислим значение \( 5^{7} \):

\( 5^{1} = 5 \)

\( 5^{2} = 25 \)

\( 5^{3} = 125 \)

\( 5^{4} = 625 \)

\( 5^{5} = 625 \cdot 5 = 3125 \)

\( 5^{6} = 3125 \cdot 5 = 15625 \)

\( 5^{7} = 15625 \cdot 5 = 78125 \)

Ответ: \( 78125 \)