2) Докажите свойство медиан треугольника

Свойство: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

1. Пусть в треугольнике ABC медианы AM, BN, CP пересекаются в точке O.
2. Рассмотрим треугольник ABC и медианы AM и BN. Пусть O — точка их пересечения.
3. Рассмотрим середины сторон AC (M) и BC (N). Отрезок MN параллелен AB и MN = 1/2 AB.
4. Рассмотрим треугольники ABO и MNO. Они подобны по двум углам (угол AOB = угол MON как вертикальные, угол OAB = угол OMN как накрест лежащие при параллельных AB и MN и секущей AM).
5. Из подобия следует, что AO/OM = BO/ON = AB/MN = 2/1.
6. Аналогично, если рассмотреть медианы AM и CP, то AO/OM = CO/OP = 2/1.
7. Таким образом, точка O делит медианы AM и BN в отношении 2:1.
8. Точка пересечения медиан (O) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.