2. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей а) соответственные углы равны, б) сумма односторонних равна 180°.

Доказательство:

Пусть прямые \( a \) и \( b \) параллельны (\( a \parallel b \)) и пересечены секущей \( c \).

а) Соответственные углы равны

Рассмотрим углы \( \angle 1 \) и \( \angle 5 \) (соответственные).

Пусть \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные, тогда \( \angle 1 + \angle 2 = 180° \).

Пусть \( \angle 2 \) и \( \angle 5 \) — накрест лежащие. Так как \( a \parallel b \), то \( \angle 2 = \angle 5 \).

Пусть \( \angle 5 \) и \( \angle 6 \) — смежные, тогда \( \angle 5 + \angle 6 = 180° \).

Если \( \angle 1 = \angle 5 \), то \( \angle 2 = \angle 6 \) (вертикальные углы).

Также, \( \angle 3 = \angle 7 \) и \( \angle 4 = \angle 8 \) как вертикальные.

Если \( \angle 1 = 180° - \angle 2 \) и \( \angle 5 = 180° - \angle 6 \). Так как \( \angle 2 = \angle 6 \), то \( \angle 1 = \angle 5 \).

Аналогично доказывается равенство других пар соответственных углов.

б) Сумма односторонних углов равна 180°

Рассмотрим односторонние углы \( \angle 1 \) и \( \angle 4 \).

Угол \( \angle 1 \) и угол \( \angle 3 \) — смежные, поэтому \( \angle 1 + \angle 3 = 180° \).

Угол \( \angle 3 \) и угол \( \angle 4 \) — накрест лежащие. Так как \( a \parallel b \), то \( \angle 3 = \angle 4 \).

Подставим \( \angle 3 \) из второго равенства в первое:

\[ \angle 1 + \angle 4 = 180° \]

Таким образом, сумма односторонних углов равна 180°.