2. Докажите, что если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Давай докажем этот важный признак!

Условие:

У нас есть треугольник ABC, в котором два угла равны. Пусть это будут углы при основании, например, ∠A и ∠B.

Что нужно доказать:

Нужно доказать, что треугольник ABC — равнобедренный. Это значит, что стороны, лежащие напротив этих равных углов, тоже должны быть равны, то есть AC = BC.

Доказательство:

Чтобы доказать это, проведем из вершины C высоту CD к стороне AB.

Теперь у нас получилось два прямоугольных треугольника: △ADC и △BDC.

Рассмотрим эти треугольники:

• У нас по условию ∠A = ∠B.
• Угол ∠ADC и угол ∠BDC — прямые, то есть они равны 90° (потому что CD — высота).
• Сторона CD — общая для обоих треугольников.

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), наши треугольники △ADC и △BDC равны.

Если треугольники равны, то все их соответствующие стороны и углы равны. Следовательно, стороны AC и BC тоже равны: AC = BC.

Вывод:

Раз в треугольнике ABC две стороны (AC и BC) равны, значит, треугольник равнобедренный. Это и есть признак равнобедренного треугольника!