2. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А(4;2;-1), B(1;-3;2), C(-4;2;1), D(-1;7;-2) является параллелограммом.

Решение:

Докажем, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, найдя середины его диагоналей AC и BD.

Координаты середины диагонали AC:

\( M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}; \frac{z_A + z_C}{2} \right) = \left( \frac{4 + (-4)}{2}; \frac{2 + 2}{2}; \frac{-1 + 1}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}; \frac{4}{2}; \frac{0}{2} \right) = (0; 2; 0) \)

Координаты середины диагонали BD:

\( M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}; \frac{y_B + y_D}{2}; \frac{z_B + z_D}{2} \right) = \left( \frac{1 + (-1)}{2}; \frac{-3 + 7}{2}; \frac{2 + (-2)}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}; \frac{4}{2}; \frac{0}{2} \right) = (0; 2; 0) \)

Поскольку середины диагоналей AC и BD совпадают \( M_{AC} = M_{BD} = (0; 2; 0) \), то диагонали четырехугольника ABCD точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: Доказано.