2. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

2. Теорема о биссектрисе треугольника

Теорема: Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Дано: \( \triangle ABC \), \( CD \) — биссектриса.

Доказать: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB} \).

Доказательство:

1. Проведем через вершину \( C \) прямую, параллельную биссектрисе \( CD \).
2. На этой прямой отложим отрезок \( CE \) так, чтобы точка \( E \) лежала на прямой \( AB \).
3. По построению \( CE \parallel CD \), что означает, что \( ∠ ECD = ∠ ACD \) (как накрест лежащие углы).
4. Так как \( CD \) — биссектриса, то \( ∠ ACD = ∠ BCD \).
5. Из равенств \( ∠ ECD = ∠ ACD \) и \( ∠ ACD = ∠ BCD \) следует, что \( ∠ ECD = ∠ BCD \).
6. Рассмотрим углы \( ∠ BCD \) и \( ∠ CEB \). Они равны как соответственные углы при параллельных прямых \( CE \) и \( CD \) и секущей \( CB \).
7. Из равенств \( ∠ ECD = ∠ BCD \) и \( ∠ BCD = ∠ CEB \) следует, что \( ∠ ECD = ∠ CEB \).
8. В треугольнике \( ∆ CEB \) углы \( ∠ ECD \) и \( ∠ CEB \) равны, следовательно, \( ∆ CEB \) — равнобедренный. Отсюда \( CB = EB \).
9. Рассмотрим прямую \( AB \) и параллельные прямые \( CE \) и \( CD \). По теореме Фалеса (или по свойству подобных треугольников \( ∆ ADC \) и \( ∆ EBC \), если бы мы провели прямую параллельную AC через B), мы получаем пропорциональность отрезков: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{EB} \).
10. Заменяя \( EB \) на \( CB \) (так как \( CB = EB \)), получаем: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB} \).

Что и требовалось доказать.