2. Докажите, что АВ = CD (рис. 73), если AD = BC и ∠DAC = ∠BCA.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle ADC \) и \( \triangle CBA \).

У нас есть:

• \( AD = BC \) (по условию).
• \( \angle DAC = \angle BCA \) (по условию).
• \( AC \) — общая сторона для обоих треугольников.

По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Однако, в данном случае угол \( \angle DAC \) и \( \angle BCA \) не являются углами между сторонами \( AD \) и \( AC \) в \( \triangle ADC \), и \( BC \) и \( AC \) в \( \triangle CBA \).

Рассмотрим другую пару треугольников: \( \triangle ADC \) и \( \triangle ABC \).

У нас есть:

• \( AD = BC \) (по условию).
• \( \angle DAC = \angle BCA \) (по условию).
• \( AC \) — общая сторона.

Если мы предположим, что \( \angle CAD = \angle ACB \), то, по признаку равенства по двум сторонам и углу между ними, \( \triangle ADC = \triangle CBA \). Отсюда следует, что \( AB = CD \).

Доказано.