2. Докажи, что данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную дробь, и запиши её в виде бесконечной десятичной дроби, указав период: a) \(\frac{1}{3}\); б) \(\frac{25}{9}\); в) \(\frac{34}{11}\); г) \(\frac{11}{6}\); д) \(\frac{47}{18}\); e) \(\frac{95}{22}\).

Решение:

Дробь нельзя перевести в конечную десятичную, если знаменатель в несократимом виде имеет простые множители, отличные от 2 и 5. Период — это повторяющаяся часть десятичной дроби.

1. \(\frac{1}{3} = 0.333... = 0.\(3\)\). Знаменатель 3 — простое число, отличное от 2 и 5.
2. \(\frac{25}{9} = 2.777... = 2.7\(7\)\). Знаменатель 9 = \(3^2\).
3. \(\frac{34}{11} = 3.0909... = 3.0\(90\)\). Знаменатель 11 — простое число, отличное от 2 и 5.
4. \(\frac{11}{6} = 1.8333... = 1.83\(3\)\). Знаменатель 6 = 2 \(\cdot\) 3.
5. \(\frac{47}{18} = 2.6111... = 2.61\(1\)\). Знаменатель 18 = 2 \(\cdot\) \(3^2\).
6. \(\frac{95}{22} = 4.31818... = 4.3\(18\)\). Знаменатель 22 = 2 \(\cdot\) 11.

Ответ: а) \(0.3\(3\)\), период 3; б) \(2.7\(7\)\), период 7; в) \(3.0\(90\)\), период 90; г) \(1.83\(3\)\), период 3; д) \(2.61\(1\)\), период 1; е) \(4.3\(18\)\), период 18.