2)Доказать теорему о вписанном угле (любой частный случай) п.73

Решение:

Теорема о вписанном угле: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Частный случай: Вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Дано: Угол \( \angle ABC \) вписан в окружность с центром \( O \) и опирается на диаметр \( AC \). То есть, \( AC \) — диаметр окружности.

Доказать: \( \angle ABC = 90° \).

Доказательство:

1. Так как \( OA = OB = OC \) (радиусы окружности), то \( \triangle AOC \) — равнобедренный с основанием \( AC \).
2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OAB = \angle OBA \).
3. Аналогично, \( \triangle BOC \) — равнобедренный с основанием \( BC \). Поэтому \( \angle OBC = \angle OCB \).
4. Угол \( \angle ABC \) является суммой углов \( \angle OBA \) и \( \angle OBC \): \( \angle ABC = \angle OBA + \angle OBC \).
5. Рассмотрим \( \triangle ABC \). Сумма углов треугольника равна 180°: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180° \).
6. Заменим \( \angle BAC \) на \( \angle OBA \) и \( \angle BCA \) на \( \angle OBC \) (из пунктов 2 и 3): \( \angle OBA + (\angle OBA + \angle OBC) + \angle OBC = 180° \).
7. Объединяем подобные члены: \( 2 \angle OBA + 2 \angle OBC = 180° \).
8. Выносим 2 за скобки: \( 2 (\angle OBA + \angle OBC) = 180° \).
9. Делим обе части на 2: \( \angle OBA + \angle OBC = 90° \).
10. Из пункта 4 следует, что \( \angle ABC = 90° \).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема о вписанном угле, частный случай: вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.