2. Доказать теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника (прямую или обратную). Следствия из теоремы.

Решение:

Теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство (прямой теоремы):

Пусть дан треугольник ABC, в котором сторона AC > BC. Нужно доказать, что угол B > угол A.

1. Отложим на стороне AC отрезок CD, равный стороне BC. Так как AC > BC, то точка D лежит между A и C.
2. Треугольник BCD — равнобедренный (BC = CD). Следовательно, углы при основании равны: \( ∠ CBD = ∠ CDB \).
3. Угол CDB является внешним углом треугольника ABD. Поэтому \( ∠ CDB = ∠ A + ∠ ABD \).
4. Так как \( ∠ CBD = ∠ CDB \), то \( ∠ CBD = ∠ A + ∠ ABD \).
5. Из этого равенства следует, что \( ∠ CBD > ∠ A \).
6. Угол ABC (угол B) состоит из углов ABD и CBD: \( ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ CBD \).
7. Поскольку \( ∠ CBD > ∠ A \), то и \( ∠ ABC > ∠ A \).

Теорема доказана.

Следствия:

• В тупоугольном треугольнике против тупого угла лежит большая сторона.
• В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов.