2. Доказать свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), \( BD \) — биссектриса.

Доказать: \( BD \) — медиана (\( AD = DC \)) и высота (\( BD \perp AC \)).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBD \).
• \( AB = BC \) (по условию, так как \( \triangle ABC \) равнобедренный).
• \( \angle ABD = \angle CBD \) (по условию, так как \( BD \) — биссектриса).
• \( BD \) — общая сторона.
2. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle ABD = \triangle CBD \).
• Из равенства треугольников следует, что \( AD = DC \). Следовательно, \( BD \) — медиана.
• Также из равенства треугольников следует, что \( \angle BDA = \angle BDC \).
• Так как \( \angle BDA \) и \( \angle BDC \) — смежные углы, их сумма равна 180°. \( \angle BDA + \angle BDC = 180° \).
• Тогда \( 2 \angle BDA = 180° \), откуда \( \angle BDA = 90° \). Следовательно, \( BD \perp AC \), то есть \( BD \) — высота.

Что и требовалось доказать.