2. Длина окружности, описанной около квадрата, равна 12π см. Найдите длину окружности, вписанной в этот квадрат.

1. Пусть $$R$$ - радиус описанной окружности, $$r$$ - радиус вписанной окружности. Диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата, а диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата.

2. Из условия $$2\pi R = 12\pi$$, следовательно, $$R = 6$$ см. Диагональ квадрата $$d = 2R = 12$$ см.

3. Сторона квадрата $$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$$ см. Радиус вписанной окружности $$r = \frac{a}{2} = 3\sqrt{2}$$ см. Длина вписанной окружности $$C_{in} = 2\pi r = 2\pi(3\sqrt{2}) = 6\pi\sqrt{2}$$ см.