№ 2. Четырёхугольник имеет координаты вершин: A(4; 4), B(0; 4), C(3; 0), D(1; −3). Изобразить фигуру. Определить: 1) вид фигуры ABCD; 2) вычислить длины сторон и диагоналей; 3) вычислить абсциссу середины диагонали AC; 4) вычислить площадь и периметр фигуры.

1. Наносим вершины на координатную плоскость и соединяем их в порядке A–B–C–D–A.

2. Используем формулу расстояния между точками: длина отрезка с концами (x₁; y₁) и (x₂; y₂) равна √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

• AB = √((4 − 0)² + (4 − 4)²) = 4.
• BC = √((3 − 0)² + (0 − 4)²) = √25 = 5.
• CD = √((1 − 3)² + (−3 − 0)²) = √13.
• DA = √((4 − 1)² + (4 − (−3))²) = √58.
• AC = √((3 − 4)² + (0 − 4)²) = √17.
• BD = √((1 − 0)² + (−3 − 4)²) = √50 = 5√2.

3. Абсцисса середины AC равна среднему арифметическому абсцисс концов: x = (4 + 3) / 2 = 3,5.

4. Периметр — сумма длин сторон: P = 4 + 5 + √13 + √58 = 9 + √13 + √58 ≈ 19,22.

Площадь найдём по формуле координат вершин многоугольника: S = ½|4·4 + 0·0 + 3·(−3) + 1·4 − (4·0 + 4·3 + 0·1 + (−3)·4)| = ½|11 − 0| = 5,5.

Ответ: ABCD — выпуклый четырёхугольник; AB = 4, BC = 5, CD = √13, DA = √58; AC = √17, BD = 5√2; абсцисса середины AC — 3,5; площадь — 5,5 кв. ед., периметр — 9 + √13 + √58 ≈ 19,22 ед.