2. Четырехугольник вписан в окружность. Дуга DC = 30°. Найти угол KMD.

Решение:

Дано: Четырехугольник KMDС вписан в окружность. Дуга DC = 30°.

Найти: Угол KMD.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Угол KMC опирается на дугу KC.

Угол KDC опирается на дугу KC.

Угол KMC = 50° (по условию).

Угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, градусная мера дуги KC равна удвоенному значению вписанного угла KMC (или KDC).

Угол KMC = 50°, значит, дуга KC = 2 * 50° = 100°.

Угол KMD — это угол, образованный пересечением хорд KM и CD внутри окружности. Однако, по рисунку, KMD является вписанным углом, опирающимся на дугу KD.

Необходимо найти величину дуги KD.

В четырехугольнике KMDС, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.

Угол KMC = 50°.

Угол KDC — вписанный угол, опирающийся на дугу KC. Дуга KC = 100°.

Угол KDC = 100° / 2 = 50°.

Угол CMD — вписанный угол, опирающийся на дугу CD. Дуга CD = 30° (по условию).

Угол CMD = 30° / 2 = 15°.

Угол KMD является внешним углом треугольника CMD (если точки K, M, D, C образуют такой порядок на окружности).

Угол KMD = Угол KDC + Угол CMD.

Угол KMD = 50° + 15° = 65°.

Ответ: 65°.