№2. Через вершины А1 и С правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 проведите плоскость α, параллельную прямой ВС1. Сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 2. а) Докажите, что плоскость α делит ребро АВ пополам. б) Найдите расстояние от прямой ВС1 до плоскости α.

Question

Вопрос:

№2. Через вершины А1 и С правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 проведите плоскость α, параллельную прямой ВС1. Сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 2. а) Докажите, что плоскость α делит ребро АВ пополам. б) Найдите расстояние от прямой ВС1 до плоскости α.

Открыть фото

Ответ:

📄 Все ответы 📸 Решить моё задание

Accepted Answer

Решение:

Дано: Призма АВСА₁В₁С₁ — правильная треугольная. АВ = ВС = СА = 6. AA₁ = BB₁ = CC₁ = 2. Плоскость α проходит через вершины А₁ и С, параллельна прямой ВС₁.

а) Доказательство:

Рассмотрим плоскость грани BB₁C₁C. В этой плоскости проведена прямая ВС₁.
Так как плоскость α параллельна ВС₁, то и любая плоскость, содержащая прямую, параллельную ВС₁, также будет параллельна ВС₁.
Рассмотрим прямую А₁С, которая лежит в плоскости α.
В грани АВСА₁В₁С₁, прямая А₁С параллельна прямой ВВ₁ (так как А₁В₁С₁ и АВС — правильные треугольники, то А₁В₁ || АВ и В₁С₁ || ВС. А₁С || ВВ₁).
Плоскость α содержит А₁С и параллельна ВС₁.
По теореме о параллельности прямой и плоскости, если прямая параллельна плоскости, то любая плоскость, проходящая через эту прямую, будет пересекать данную плоскость по прямой, параллельной исходной.
Рассмотрим плоскость грани АВВ₁А₁. В этой плоскости прямая АВ.
Найдем точку пересечения плоскости α с ребром АВ. Обозначим эту точку как М.
Так как плоскость α содержит А₁С и параллельна ВС₁, то она будет параллельна и любой прямой, параллельной ВС₁.
Пусть плоскость α пересекает ребро АВ в точке М.
Рассмотрим треугольник А₁ВС₁. Так как призма правильная, то А₁В₁ || АВ и В₁С₁ || ВС.
Плоскость α проходит через А₁ и С, и параллельна ВС₁.
Пусть плоскость α пересекает ребро АВ в точке M.
Рассмотрим сечение призмы плоскостью α. Сечение будет параллелограммом А₁СМN, где N — точка пересечения плоскости α с ребром АА₁.
Поскольку плоскость α параллельна ВС₁, то и плоскость, в которой лежит А₁С, будет параллельна ВС₁.
Рассмотрим грань АВВ₁А₁. Если плоскость α пересекает ребро АВ в точке М, то по теореме Фалеса (или из подобия треугольников), если плоскость параллельна основанию, то она делит боковые ребра пропорционально.
В данном случае плоскость α параллельна плоскости основания.
Поскольку плоскость α проходит через А₁ и С, и параллельна ВС₁, рассмотрим векторное представление. \( \bar{M} = (1-t)\bar{A} + t\bar{B} \).
Пусть плоскость α пересекает ребро АВ в точке М.
Рассмотрим треугольник ВС₁А₁.
Так как плоскость α параллельна прямой ВС₁, и содержит прямую А₁С, то прямая А₁С также параллельна ВС₁.
Это возможно только если А₁С || ВС₁.
В правильной треугольной призме А₁С параллельна ВВ₁.
Следовательно, ВВ₁ || ВС₁. Это возможно только если основание призмы является квадратом, что противоречит условию.
Переосмыслим условие: плоскость α параллельна прямой ВС₁.
Пусть плоскость α пересекает ребро АВ в точке М.
Рассмотрим сечение призмы плоскостью α. Сечение будет параллелограммом.
Так как плоскость α параллельна прямой ВС₁, и проходит через точки А₁ и С.
Рассмотрим грань ВВ₁С₁С. В этой грани проведена прямая ВС₁.
Плоскость α содержит А₁С.
Если плоскость α параллельна прямой ВС₁, то расстояние от любой точки плоскости α до прямой ВС₁ постоянно.
Рассмотрим вектор \( \bar{BC_1} \). \( \bar{BC_1} = \bar{C_1} - \bar{B} \).
Вектор \( \bar{A_1C} = \bar{C} - \bar{A_1} \).
Так как призма правильная, \( \bar{A_1} = \bar{A} + \bar{h} \), \( \bar{B_1} = \bar{B} + \bar{h} \), \( \bar{C_1} = \bar{C} + \bar{h} \), где \( \bar{h} \) — вектор высоты.
\( \bar{BC_1} = \bar{C} + \bar{h} - \bar{B} \).
\( \bar{A_1C} = \bar{C} - (\bar{A} + \bar{h}) = \bar{C} - \bar{A} - \bar{h} \).
Для параллельности \( \bar{A_1C} \) и \( \bar{BC_1} \) необходимо, чтобы \( \bar{C} - \bar{A} - \bar{h} = k(\bar{C} + \bar{h} - \bar{B}) \).
Из условия, что плоскость α параллельна ВС₁.
Пусть плоскость α пересекает ребро АВ в точке M.
Рассмотрим грань ABB₁A₁.
Рассмотрим грань BCC₁B₁.
Рассмотрим грань ACC₁A₁.
Пусть M — точка пересечения плоскости α с ребром АВ.
По условию, плоскость α параллельна прямой ВС₁.
Пусть плоскость α пересекает ребро АВ в точке М, а ребро BB₁ в точке N.
Так как А₁С лежит в плоскости α, и плоскость α параллельна ВС₁, то прямая А₁С должна быть параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости, которая содержит ВС₁, и эта прямая должна быть параллельна ВС₁.
Рассмотрим плоскость ACC₁A₁. В этой плоскости лежит А₁С.
Рассмотрим плоскость BCC₁B₁. В этой плоскости лежит ВС₁.
Если плоскость α параллельна ВС₁, то она содержит прямую, параллельную ВС₁.
В плоскости α содержатся точки А₁ и С.
Если плоскость α проходит через А₁ и С и параллельна ВС₁, то она должна содержать прямую, параллельную ВС₁.
Рассмотрим вектор \( \bar{v} = \bar{BC_1} \).
Вектор \( \bar{w} = \bar{A_1C} \).
Если \( \bar{w} \) параллелен \( \bar{v} \), то \( \bar{C} - \bar{A_1} = k(\bar{C_1} - \bar{B}) \).
\( \bar{C} - (\bar{A} + \bar{h}) = k(\bar{C} + \bar{h} - \bar{B}) \).
\( \bar{C} - \bar{A} - \bar{h} = k\bar{C} + k\bar{h} - k\bar{B} \).
Если k = -1, то \( \bar{C} - \bar{A} - \bar{h} = -\bar{C} - \bar{h} + \bar{B} \), т.е. \( 2\bar{C} - \bar{A} - \bar{B} = 0 \), что неверно для треугольника.
Вернемся к геометрическому смыслу.
Плоскость α проходит через А₁ и С, параллельна ВС₁.
Пусть плоскость α пересекает АВ в точке М, а ВВ₁ в точке N.
Тогда А₁СNМ — сечение.
Так как α || ВС₁, то А₁СNМ — параллелограмм.
Значит, А₁N || СМ и А₁С || NM.
Так как А₁С || NM, и А₁С лежит в плоскости А₁СС₁А, а NM лежит в плоскости ABB₁A₁, то NM || А₁С.
В грани ABB₁A₁, NM || А₁С.
В грани BCC₁B₁, BN || CC₁.
Рассмотрим параллельные плоскости А₁В₁С₁ и АВС.
Плоскость α пересекает ребра призмы.
Поскольку плоскость α параллельна прямой ВС₁, и содержит А₁С, то А₁С параллельна ВС₁.
Вектор \( \bar{A_1C} = (0, -6, -2) \) если А = (0, 0, 0), В = (6, 0, 0), С = (3, 3√3, 0), А₁ = (0, 0, 2).
\( \bar{BC_1} = \bar{C_1} - \bar{B} = (3, 3\text{√}3, 2) - (6, 0, 0) = (-3, 3\text{√}3, 2) \).
\( \bar{A_1C} = \bar{C} - \bar{A_1} = (3, 3\text{√}3, 0) - (0, 0, 2) = (3, 3\text{√}3, -2) \).
Эти векторы не параллельны.
Значит, плоскость α не содержит прямую, параллельную ВС₁, а сама плоскость параллельна прямой ВС₁.
Это значит, что вектор нормали к плоскости α ортогонален вектору \( \bar{BC_1} \).
Пусть М — точка пересечения плоскости α с АВ.
Пусть N — точка пересечения плоскости α с ВВ₁.
Пусть K — точка пересечения плоскости α с АА₁.
Плоскость α проходит через А₁ и С.
Если плоскость α параллельна ВС₁, то расстояние от А₁ до ВС₁ равно расстоянию от С до ВС₁ (но это верно, если А₁С || ВС₁, что не так).
Условие параллельности плоскости и прямой: вектор нормали плоскости перпендикулярен направляющему вектору прямой.
Пусть уравнение плоскости α: \( ax + by + cz + d = 0 \).
Так как А₁ и С лежат в плоскости: \( a(0) + b(0) + c(2) + d = 0 \rightarrow 2c + d = 0 \) (при А₁=(0,0,2)). \( a(3) + b(3\text{√}3) + c(0) + d = 0 \rightarrow 3a + 3\text{√}3b + d = 0 \).
Направляющий вектор ВС₁ = \( (-3, 3\text{√}3, 2) \).
Нормаль к плоскости \( (a, b, c) \).
Скалярное произведение \( (a, b, c) \bullet (-3, 3\text{√}3, 2) = 0 \).
\( -3a + 3\text{√}3b + 2c = 0 \).
Из \( 2c + d = 0 \), \( d = -2c \).
Подставим во второе уравнение: \( 3a + 3\text{√}3b - 2c = 0 \).
Имеем систему:

\( -3a + 3\text{√}3b + 2c = 0 \)
\( 3a + 3\text{√}3b - 2c = 0 \)

Сложим уравнения:

\( 6\text{√}3b = 0 \rightarrow b = 0 \).

Подставим \( b=0 \) в первое уравнение:

\( -3a + 2c = 0 \rightarrow a = \frac{2}{3}c \).

Пусть \( c = 3 \), тогда \( a = 2 \), \( d = -2c = -6 \).

Уравнение плоскости α: \( 2x + 0y + 3z - 6 = 0 \) или \( 2x + 3z - 6 = 0 \).

Теперь найдем точку пересечения плоскости α с ребром АВ. Ребро АВ лежит на оси Ох (от (0,0,0) до (6,0,0)).

Подставим координаты точки на ребре АВ в уравнение плоскости. Точка имеет вид \( (x, 0, 0) \), где \( 0 \text{ ≤} x \text{ ≤} 6 \).

\( 2x + 3(0) - 6 = 0 \rightarrow 2x = 6 \rightarrow x = 3 \).

Значит, точка пересечения М имеет координаты \( (3, 0, 0) \).

Начальная точка ребра АВ — \( A=(0,0,0) \). Конечная точка — \( B=(6,0,0) \).

Точка М \( (3,0,0) \) делит ребро АВ пополам, так как \( AM = 3 \) и \( MB = 6 - 3 = 3 \).

Доказано: Плоскость α делит ребро АВ пополам.

б) Расстояние от прямой ВС₁ до плоскости α:

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

Плоскость α: \( 2x + 3z - 6 = 0 \).

Прямая ВС₁ проходит через точки \( B=(6,0,0) \) и \( C_1=(3, 3\text{√}3, 2) \).

Проверим, параллельна ли прямая ВС₁ плоскости α. Направляющий вектор прямой \( \bar{v} = \bar{BC_1} = (-3, 3\text{√}3, 2) \).

Нормаль к плоскости \( \bar{n} = (2, 0, 3) \).

Скалярное произведение \( \bar{v} \bullet \bar{n} = (-3)(2) + (3\text{√}3)(0) + (2)(3) = -6 + 0 + 6 = 0 \).

Так как скалярное произведение равно нулю, прямая ВС₁ параллельна плоскости α.

Найдем расстояние от точки В \( (6,0,0) \) до плоскости α \( 2x + 3z - 6 = 0 \).

Формула расстояния от точки \( (x_0, y_0, z_0) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \):

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\text{√}(A^2 + B^2 + C^2)} \]

Здесь \( x_0 = 6, y_0 = 0, z_0 = 0 \). \( A = 2, B = 0, C = 3, D = -6 \).

\[ d = \frac{|2(6) + 0(0) + 3(0) - 6|}{\text{√}(2^2 + 0^2 + 3^2)} = \frac{|12 - 6|}{\text{√}(4 + 9)} = \frac{6}{\text{√}13} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \text{√}13 \):

\[ d = \frac{6\text{√}13}{13} \]

Ответ: а) Доказано. б) \(\frac{6\text{√}13}{13}\).