2. Через конец A отрезка AB проведена плоскость α. Через точку M — середину отрезка AB — и точку B проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках M₁ и B₁ соответственно. а) Докажите, что точки A, B₁ и M₁ лежат на одной прямой. б) Найдите BB₁, если MM₁ = 4 см.

а)

1. Точки A, M и B лежат на одной прямой, причём AM = MB, так как M — середина AB.
2. Прямые MM₁ и BB₁ параллельны по условию. Поэтому в плоскости ABB₁, согласно теореме о средней линии треугольника, прямая через середину AB, параллельная BB₁, пересекает AB₁ в его середине.
3. Следовательно, M₁ лежит на AB₁, то есть точки A, B₁ и M₁ коллинеарны.

б) В треугольнике ABB₁ отрезок MM₁ — средняя линия: M — середина AB, а MM₁ параллелен BB₁. Поэтому

MM₁ = BB₁ / 2.

Подставим MM₁ = 4 см: BB₁ = 2 · 4 = 8 см.

Ответ: BB₁ = 8 см.