2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25 см, а биссектриса, проведенная к основанию – 24 см. Найдите площадь и периметр этого треугольника.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = 25 см (боковые стороны), а BC — основание. Биссектриса AD проведена к основанию BC, AD = 24 см.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, AD ⊥ BC и D — середина BC.

1. Найдём основание BC:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора:

\( AB^2 = AD^2 + BD^2 \)

\( 25^2 = 24^2 + BD^2 \)

\( 625 = 576 + BD^2 \)

\( BD^2 = 625 - 576 \)

\( BD^2 = 49 \)

\( BD = \sqrt{49} = 7 \) см.

Так как D — середина BC, то \( BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot 7 = 14 \) см.

2. Найдём периметр треугольника:

Периметр P = AB + AC + BC

P = 25 + 25 + 14 = 64 см.

3. Найдём площадь треугольника:

Площадь S = \( \frac{1}{2} \) ⋅ основание ⋅ высота

S = \( \frac{1}{2} \) ⋅ BC ⋅ AD

S = \( \frac{1}{2} \) ⋅ 14 ⋅ 24

S = 7 ⋅ 24 = 168 см².

Ответ: Периметр треугольника равен 64 см, площадь равна 168 см².