2. АВ и АС - касательные, ∠AOB = 65°. Найди ∠CAO. (рисунок 5)

Решение:

В данном задании AB и AC являются касательными к окружности с центром O. Точки B и C — точки касания.

1. Рассмотрим треугольник AOB. По свойству касательной, радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle ABO = 90^{\circ} \).
2. В треугольнике AOB известны углы \( \angle ABO = 90^{\circ} \) и \( \angle AOB = 65^{\circ} \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).
3. Найдем \( \angle OAB \): \[ \angle OAB = 180^{\circ} - \angle ABO - \angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ} \]
4. Рассмотрим треугольник AOC. По тому же свойству касательной, \( \angle ACO = 90^{\circ} \).
5. Также, отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны. Следовательно, AB = AC.
6. Треугольники AOB и AOC имеют общую сторону AO, равные катеты (OB = OC — радиусы окружности) и равные гипотенузы (AB = AC). Значит, треугольники AOB и AOC равны по трём сторонам (или по двум катетам и гипотенузе).
7. Из равенства треугольников AOB и AOC следует, что равны и их соответствующие углы. Следовательно, \( \angle OAB = \angle OAC \).
8. Так как \( \angle OAB = 25^{\circ} \), то \( \angle OAC = 25^{\circ} \).
9. Искомый угол \( \angle CAO \) равен \( \angle OAC \).

Ответ: \( \angle CAO = 25^{\circ} \).