2. Алиса высадила в ряд на грядке несколько пионов. После этого между каждыми двумя пионами высадили по еще одному пиону. И так Алиса сделала 3 раза. В результате на грядке оказалось 65 пионов. Сколько пионов посадила Алиса вначале?

Решение:

Пусть x — первоначальное количество пионов.

После первого раза между каждым пионом посадили ещё один. Число промежутков равно x - 1. Значит, добавили x - 1 пион. Всего стало: \( x + (x - 1) = 2x - 1 \) пионов.

После второго раза между каждым из \( 2x - 1 \) пионов посадили ещё один. Число промежутков равно \( (2x - 1) - 1 = 2x - 2 \). Значит, добавили \( 2x - 2 \) пионов. Всего стало: \( (2x - 1) + (2x - 2) = 4x - 3 \) пионов.

После третьего раза между каждым из \( 4x - 3 \) пионов посадили ещё один. Число промежутков равно \( (4x - 3) - 1 = 4x - 4 \). Значит, добавили \( 4x - 4 \) пионов. Всего стало: \( (4x - 3) + (4x - 4) = 8x - 7 \) пионов.

По условию, всего оказалось 65 пионов. Составим уравнение:

\[ 8x - 7 = 65 \]

Решим уравнение:

1. Перенесём 7 в правую часть: \( 8x = 65 + 7 \)
2. \( 8x = 72 \)
3. Разделим обе части на 8: \( x = \frac{72}{8} \)
4. \( x = 9 \)

Ответ: Алиса вначале посадила 9 пионов.