2. ABCD — прямоугольная трапеция (∠D = ∠C = 90°), BC = 3, CD = 6, BD | AB. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Дано:

ABCD — прямоугольная трапеция.

\( \angle D = \angle C = 90^{\circ} \)

\( BC = 3 \)

\( CD = 6 \)

\( BD \perp AB \)

Найти:

Площадь трапеции S.

1. Построим высоту BH из вершины B к основанию CD. Так как ABCD — прямоугольная трапеция, то AD = BC = 3.
2. В прямоугольнике BCHK: BH = CK, BC = HK = 3.
3. Тогда HD = CD - CK = 6 - 3 = 3.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. По теореме Пифагора: \( BD^2 = BH^2 + HD^2 \).
5. Так как ABCD — прямоугольная трапеция, то \( AB \parallel CD \) и \( AD \parallel BC \).
6. По условию \( BD \perp AB \).
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Так как \( AB \parallel CD \), то \( \angle ABD = \angle BDC \) (накрест лежащие углы).
8. В прямоугольном треугольнике BHD, \( \angle BDH = 90^{\circ} - \angle DBC \).
9. Из условия \( BD \perp AB \) следует, что \( \angle ABD = 90^{\circ} \).
10. В прямоугольном треугольнике ABD: \( AB = BD \cos(\angle ABD) \) и \( AD = BD \sin(\angle ABD) \).
11. Так как \( \angle ABD = 90^{\circ} \), то \( AB = BD \cos(90^{\circ}) = 0 \), что невозможно.
12. Проверим условие \( BD \perp AB \). В прямоугольной трапеции ABCD, проведем высоту BH. Треугольник ABD прямоугольный, \( \angle BAD = 90^{\circ} \).
13. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. \( HD = CD - BC = 6 - 3 = 3 \). \( BH = AD = 3 \).
14. По теореме Пифагора в \( \triangle BHD \): \( BD^2 = BH^2 + HD^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 \). \( BD = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \).
15. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. \( AB^2 + AD^2 = BD^2 \). \( AB^2 + 3^2 = (3\sqrt{2})^2 \). \( AB^2 + 9 = 18 \). \( AB^2 = 9 \). \( AB = 3 \).
16. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.
17. В нашем случае основания: \( AB = 3 \) и \( CD = 6 \). Высота трапеции равна боковой стороне AD, которая равна BC. \( h = AD = BC = 3 \).
18. \( S = \frac{3 + 6}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2} \cdot 3 = 4.5 \cdot 3 = 13.5 \).

Ответ: Площадь трапеции равна 13.5.