2. AB = AC – касательные, ∠AOB = 65°. Найдите ∠CAO (рисунок 5).

Решение:

На рисунке изображены две касательные AB и AC, проведенные из точки A к окружности с центром O. Точки касания B и C лежат на окружности.

1. Свойства касательных: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то есть AB = AC. Это условие уже дано.
2. Свойства радиуса, проведенного в точку касания: Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠ABO = 90° и ∠ACO = 90°.
3. Треугольник AOB: В треугольнике AOB известны ∠ABO = 90° и ∠AOB = 65°. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
4. Находим ∠OAB:

\( \angle OAB = 180° - \angle ABO - \angle AOB \)

\( \angle OAB = 180° - 90° - 65° \)

\( \angle OAB = 25° \)

Примечание: Треугольники AOB и AOC являются равными прямоугольными треугольниками (по гипотенузе AO и катету BO=CO - радиусы, или по гипотенузе AO и острому углу ∠OAB = ∠OAC, который мы ищем).

Ответ: ∠CAO = 25°.