2. а) Решите уравнение log2(x² - 14x) = 5. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log30,1; 5√10].

Решение:

а) Решение уравнения:

1. Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: \( x^2 - 14x = 2^5 \).
2. Упростим: \( x^2 - 14x = 32 \).
3. Приведём к стандартному виду квадратного уравнения: \( x^2 - 14x - 32 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
• \( D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324 \).
• \( \sqrt{D} = \sqrt{324} = 18 \).
• \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16 \).
• \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 18}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \).

б) Проверка принадлежности корней отрезку:

Отрезок задан как \( [\log_3{0.1}; 5\sqrt{10}] \). Приблизительные значения:

• \( \log_3{0.1} \) — отрицательное число, так как \( 0.1 < 1 \). \( 3^{-1} = 1/3 \approx 0.33 \), \( 3^{-2} = 1/9 \approx 0.11 \). Значит, \( \log_3{0.1} \) немного меньше -2.
• \( 5\sqrt{10} \): \( \sqrt{9} = 3 \), \( \sqrt{16} = 4 \). \( \sqrt{10} \) примерно 3.16. \( 5 \times 3.16 = 15.8 \).

Таким образом, отрезок примерно равен \( [-2.09; 15.8] \).

Проверим корни:

• Корень \( x_1 = 16 \): \( 16 \) не принадлежит отрезку \( [\log_3{0.1}; 5\sqrt{10}] \), так как \( 16 > 15.8 \).
• Корень \( x_2 = -2 \): \( -2 \) принадлежит отрезку \( [\log_3{0.1}; 5\sqrt{10}] \), так как \( -2 \) находится между \( \log_3{0.1} \) (примерно -2.09) и \( 5\sqrt{10} \) (примерно 15.8).

Ответ: а) x₁ = 16, x₂ = -2. б) Корень, принадлежащий отрезку: -2.