2. а) Решите уравнение \(\cos 2x+0{,}5=\cos^2 x\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-2\pi; -\frac{\pi}{2}]\).

а) Используем формулу двойного угла: \(\cos 2x=2\cos^2x-1\).

Подставим её в уравнение:

\(2\cos^2x-1+0.5=\cos^2x\), поэтому \(\cos^2x=0.5\).

Следовательно, \(\cos 2x=0\), откуда \(2x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\). Тогда

\[x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.\]

б) Подставим общий корень в условие отрезка:

\(-2\pi\leq \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\leq -\frac{\pi}{2}\).

После деления на \(\pi\) и умножения на 4 получаем \(-9\leq 2k\leq -3\), поэтому \(k=-4,-3,-2\).

При этих значениях соответственно получаем \(x=-\frac{7\pi}{4}, -\frac{5\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}\).

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{7\pi}{4},-\frac{5\pi}{4},-\frac{3\pi}{4}\).