2.8.50. Найдите значение выражения $$\frac{a^2-25b^2}{2a^2} \cdot \frac{a}{2a-10b}$$ при $$a=\sqrt{5}$$, $$b=\sqrt{45}$$.

Решение:

1. Упростим выражение:
   $$ \frac{a^2-25b^2}{2a^2} \cdot \frac{a}{2a-10b} = \frac{(a-5b)(a+5b)}{2a^2} \cdot \frac{a}{2(a-5b)} $$
2. Сократим дробь:
   $$ \frac{(a-5b)(a+5b)}{2a^2} \cdot \frac{a}{2(a-5b)} = \frac{a+5b}{2a \cdot 2} = \frac{a+5b}{4a} $$
3. Подставим значения $$a=\sqrt{5}$$ и $$b=\sqrt{45}$$:
   $$ b = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} $$
4. Вычислим значение выражения:
   $$ \frac{\sqrt{5} + 5(3\sqrt{5})}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} + 15\sqrt{5}}{4\sqrt{5}} = \frac{16\sqrt{5}}{4\sqrt{5}} = 4 $$

Ответ: 4