2.8.47. Найдите значение выражения ( a+6b / a^2-6ab - 1/a ) : b / 6b-a при a = 9,6, b = \(\sqrt{2}\)-2.

Решение:

Сначала упростим выражение:

\[ \left( \frac{a+6b}{a^2-6ab} - \frac{1}{a} \right) : \frac{b}{6b-a} \]

Приведём к общему знаменателю в первой скобке:

\[ \left( \frac{a+6b}{a(a-6b)} - \frac{a-6b}{a(a-6b)} \right) : \frac{b}{6b-a} \]

\[ \left( \frac{a+6b - (a-6b)}{a(a-6b)} \right) : \frac{b}{6b-a} \]

\[ \left( \frac{a+6b-a+6b}{a(a-6b)} \right) : \frac{b}{6b-a} \]

\[ \left( \frac{12b}{a(a-6b)} \right) : \frac{b}{6b-a} \]

Заменим знак деления умножением и перевернём дробь:

\[ \frac{12b}{a(a-6b)} \cdot \frac{6b-a}{b} \]

Вынесем знак минус из скобки \( a-6b \), чтобы получить \( 6b-a \):

\[ \frac{12b}{a(-(6b-a))} \cdot \frac{6b-a}{b} \]

\[ \frac{12b}{-a(6b-a)} \cdot \frac{6b-a}{b} \]

Сократим \( b \) и \( 6b-a \):

\[ \frac{12}{-a} \]

\[ -\frac{12}{a} \]

Теперь подставим значение \( a = 9,6 \):

\[ -\frac{12}{9,6} \]

Чтобы упростить деление, представим \( 9,6 \) как дробь \( \frac{96}{10} = \frac{48}{5} \).

\[ -\frac{12}{\frac{48}{5}} = -12 \cdot \frac{5}{48} \]

\[ -\frac{12 \cdot 5}{48} = -\frac{60}{48} \]

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:

\[ -\frac{5}{4} \]

Представим в виде десятичной дроби:

\[ -1,25 \]

Значение \( b \) не понадобилось для упрощения выражения.

Ответ: -1,25.