2.51. Два коаксиальных кольца радиуса R из тонкой проволоки находятся на малом расстоянии l друг от друга (l ≪ R) и имеют заряды q и −q. Найти потенциал и напряжённость электрического поля на оси системы как функции координаты x (рис. 2.6). Изобразить примерные графики этих зависимостей. Исследовать эти функции при |x| ≫ R.

Пусть начало координат находится посередине между плоскостями колец, ось x направлена к кольцу с зарядом +q. Тогда центры колец имеют координаты x = +l/2 и x = −l/2 соответственно. Обозначим k = 1/(4πε₀).

Потенциал на оси равен сумме потенциалов двух колец. Потенциал кольца радиуса R с зарядом Q на оси на расстоянии s от его центра равен kQ/√(R²+s²):

φ(x) = kq/√(R²+(x−l/2)²) − kq/√(R²+(x+l/2)²).

Поскольку l ≪ R, в первом приближении по l разложим выражение по малому смещению l/2. Для f(x) = 1/√(R²+x²) получаем f(x−l/2) − f(x+l/2) ≈ −l f′(x), где f′(x) = −x/(R²+x²)^(3/2). Поэтому

φ(x) ≈ kqlx/(R²+x²)^(3/2).

Напряжённость на оси направлена вдоль оси x и равна Eₓ = −dφ/dx. Дифференцируя приближённый потенциал, получаем

Eₓ(x) ≈ kql(2x²−R²)/(R²+x²)^(5/2).

Потенциал — нечётная функция: φ(−x) = −φ(x). Он обращается в ноль при x = 0 и имеет экстремумы при x = ±R/√2. Поле — чётная функция: Eₓ(−x) = Eₓ(x); в центре Eₓ(0) = −kql/R³, а нули находятся при x = ±R/√2.

Примерные графики в безразмерных координатах u = x/R, Φ = φR²/(kql) и ℰ = EₓR³/(kql) соответствуют зависимостям Φ = u/(1+u²)^(3/2) и ℰ = (2u²−1)/(1+u²)^(5/2).

При |x| ≫ R (и l ≪ R) знаменатель потенциала можно разложить по степеням R²/x². Ведущие дальние члены:

φ(x) ≈ kql·sgn(x)/x², Eₓ(x) ≈ 2kql/|x|³.

Следовательно, вдали потенциал убывает по модулю как 1/x² и меняет знак при переходе через начало координат, а поле убывает как 1/|x|³ и направлено в сторону +x с обеих сторон.