2+3i / 3-i^5

Решение:

1. Упростим знаменатель: \( i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i \).
2. Таким образом, дробь имеет вид: \( \frac{2+3i}{3-i} \).
3. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число к знаменателю (3+i):

\( \frac{2+3i}{3-i} \cdot \frac{3+i}{3+i} = \frac{(2+3i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} \)

2. Вычислим числитель: \( (2+3i)(3+i) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot i + 3i \cdot 3 + 3i \cdot i = 6 + 2i + 9i + 3i^2 = 6 + 11i - 3 = 3 + 11i \).
3. Вычислим знаменатель: \( (3-i)(3+i) = 3^2 - i^2 = 9 - (-1) = 9 + 1 = 10 \).
4. Объединим числитель и знаменатель: \( \frac{3+11i}{10} \).
5. Разделим на действительную и мнимую части: \( \frac{3}{10} + \frac{11}{10}i \).

Ответ: \( \frac{3}{10} + \frac{11}{10}i \).