2.3.5. («Формула Единства» / «Третье тысячелетие», 2020, 5.5, 6.5) Экран калькулятора изначально выглядел так: 8888 Потом некоторые палочки на нём перегорели. Поэтому получилось, что 275 × 9 = 1279 (см. рис.). Восстановите, что вводили на самом деле и какое число получилось (найдите все возможные варианты и объясните, почему никаких других быть не может). 275 × 9 = 1279

Решение:

Сначала определим, как выглядят цифры на калькуляторе и какие сегменты (палочки) они используют:

• 0: 6 сегментов
• 1: 2 сегмента
• 2: 5 сегментов
• 3: 5 сегментов
• 4: 4 сегмента
• 5: 5 сегментов
• 6: 6 сегментов
• 7: 3 сегмента
• 8: 7 сегментов
• 9: 6 сегментов

Изначально на экране отображалось 8888. Все цифры 8 используют по 7 сегментов. Общее количество используемых сегментов — \( 4 \times 7 = 28 \).

В результате вычисления получили 1279.

• 1: 2 сегмента
• 2: 5 сегментов
• 7: 3 сегмента
• 9: 6 сегментов

Общее количество используемых сегментов — \( 2 + 5 + 3 + 6 = 16 \).

Разница в количестве сегментов: \( 28 - 16 = 12 \).

Это означает, что 12 сегментов «перегорели». Нужно найти такие цифры, которые были введены вместо 8, и которые в сумме используют на 12 сегментов меньше, чем 4 восьмёрки.

Переберём возможные варианты, какие цифры могли быть введены вместо 8:

1. Вариант 1: Введены цифры 2, 7, 5, 9.
• 2: 5 сегментов (на 2 меньше, чем 8)
• 7: 3 сегмента (на 4 меньше, чем 8)
• 5: 5 сегментов (на 2 меньше, чем 8)
• 9: 6 сегментов (на 1 меньше, чем 8)
2. Суммарная потеря сегментов: \( 2 + 4 + 2 + 1 = 9 \). Этот вариант не подходит, так как потеря составила 9 сегментов, а нужно 12.
3. Вариант 2: Введены цифры 1, 3, 4, 0.
• 1: 2 сегмента (на 5 меньше, чем 8)
• 3: 5 сегментов (на 2 меньше, чем 8)
• 4: 4 сегмента (на 3 меньше, чем 8)
• 0: 6 сегментов (на 1 меньше, чем 8)
4. Суммарная потеря сегментов: \( 5 + 2 + 3 + 1 = 11 \). Этот вариант не подходит, так как потеря составила 11 сегментов, а нужно 12.
5. Вариант 3: Введены цифры 1, 3, 4, 7.
• 1: 2 сегмента (на 5 меньше, чем 8)
• 3: 5 сегментов (на 2 меньше, чем 8)
• 4: 4 сегмента (на 3 меньше, чем 8)
• 7: 3 сегмента (на 4 меньше, чем 8)
6. Суммарная потеря сегментов: \( 5 + 2 + 3 + 4 = 14 \). Этот вариант не подходит, так как потеря составила 14 сегментов, а нужно 12.
7. Вариант 4: Введены цифры 1, 2, 3, 4.
• 1: 2 сегмента (на 5 меньше, чем 8)
• 2: 5 сегментов (на 2 меньше, чем 8)
• 3: 5 сегментов (на 2 меньше, чем 8)
• 4: 4 сегмента (на 3 меньше, чем 8)
8. Суммарная потеря сегментов: \( 5 + 2 + 2 + 3 = 12 \). Этот вариант подходит!

Итак, вместо 8888 было введено 1234. Это значит, что при вводе числа 1234 произошло 12 «потерь» сегментов. Было введено число 1234, а получилось 1279.

Объяснение, почему других вариантов быть не может:

Мы искали комбинации четырёх цифр, каждая из которых использует меньше сегментов, чем 8 (7 сегментов), и суммарная потеря составляет ровно 12 сегментов. Исходя из количества сегментов для каждой цифры (от 2 до 7), единственная комбинация, дающая потерю в 12 сегментов, — это:

• 1 (2 сегмента, потеря 5)
• 2 (5 сегментов, потеря 2)
• 3 (5 сегментов, потеря 2)
• 4 (4 сегмента, потеря 3)

Сумма потерь: \( 5 + 2 + 2 + 3 = 12 \).

Таким образом, введённое число было 1234.

Результат вычисления:

Получилось число 1279. Это означает, что исходное умножение было 1234 × 9 = 11106, но из-за перегоревших сегментов отобразилось 1279.

Найденные варианты:

Введённое число: 1234. Полученное число: 1279.

Ответ: Было введено число 1234, получилось число 1279.