2.3.49. Найдите значение выражения \(\frac{a^2 - 64b^2}{a^2} \cdot \frac{a}{a-8b}\) при \(a = \sqrt{45}, b = \sqrt{405}\).

Решение:

1. Упростим данное выражение:

\( \frac{a^2 - 64b^2}{a^2} \cdot \frac{a}{a-8b} = \frac{(a - 8b)(a + 8b)}{a^2} \cdot \frac{a}{a-8b} \)

Сокращаем \( (a - 8b) \) и \( a \):

\( \frac{a + 8b}{a} \)

2. Подставим значения \( a = \sqrt{45} \) и \( b = \sqrt{405} \) в упрощённое выражение.

Сначала упростим корни:

\( a = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \)

\( b = \sqrt{405} = \sqrt{81 \cdot 5} = 9\sqrt{5} \)

Теперь подставим значения в выражение \( \frac{a + 8b}{a} \):

\( \frac{3\sqrt{5} + 8 \cdot 9\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5} + 72\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} = \frac{(3 + 72)\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} = \frac{75\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} \)

Сокращаем \( \sqrt{5} \) и выполняем деление:

\( \frac{75}{3} = 25 \)

Ответ: 25.