2.278. Машина едет со скоростью v в направлении к неподвижному наблюдателю и испускает звуковые сигналы длительностью τ. В том же направлении дует ветер со скоростью u. Определите длительность сигнала, воспринимаемого наблюдателем.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся эффектом Доплера для звука с учетом движения среды (ветра).

Скорость звука относительно воздуха равна \( c \).

Скорость машины относительно земли равна \( v \).

Скорость ветра относительно земли равна \( u \).

Наблюдатель неподвижен относительно земли.

1. Скорость звука относительно наблюдателя:

Когда машина движется к наблюдателю, частота звука увеличивается. Ветер, дующий в том же направлении, что и машина, также увеличивает скорость звука относительно наблюдателя.

Скорость звука относительно земли будет \( c' = c + u \) (так как ветер дует в ту же сторону, что и звук, распространяющийся к наблюдателю).

Эффективная скорость звука, с которой он достигает наблюдателя, будет \( v_{sound} = c' - v = c + u - v \) (так как машина движется навстречу звуку, который распространяется со скоростью \( c' \) от машины к наблюдателю).

2. Формула для длительности сигнала:

Длительность сигнала, испускаемого машиной, равна \( \tau \). Эта длительность относится к системе отсчёта машины.

Длина звуковой волны, испускаемой машиной, в системе отсчёта машины равна \( \lambda_0 = v_{sound0} \cdot \tau \), где \( v_{sound0} \) - скорость звука относительно источника (машины). Если бы ветра не было, то \( v_{sound0} = c \).

В присутствии ветра, скорость звука относительно земли равна \( c+u \). Скорость машины \( v \). Скорость звука относительно земли, когда машина движется к наблюдателю, составляет \( c+u \).

Длина волны, воспринимаемая неподвижным наблюдателем, зависит от относительной скорости звука и источника. Скорость звука относительно земли равна \( c+u \). Машина движется к наблюдателю со скоростью \( v \). Таким образом, длина волны, воспринимаемая наблюдателем, может быть выражена через частоту и скорость звука относительно земли.

Частота, испускаемая машиной, в системе отсчета машины равна \( f_0 = 1/\tau \).

В системе отсчета земли, частота, воспринимаемая неподвижным наблюдателем, при движении источника к нему и движущейся среде (ветер) рассчитывается по формуле:

\[ f = f_0 \frac{c+u}{c+u-v} \]

где \( f_0 = 1/\tau \) — собственная частота источника (машины).

Длительность сигнала, воспринимаемая наблюдателем, \( \tau' \), обратно пропорциональна воспринимаемой частоте:

\[ \tau' = \frac{1}{f} = \frac{1}{f_0 \frac{c+u}{c+u-v}} = \frac{1}{f_0} \frac{c+u-v}{c+u} \]

Подставляя \( f_0 = 1/\tau \):

\[ \tau' = \tau \frac{c+u-v}{c+u} \]

Упрощенная интерпретация:

Рассмотрим расстояние, которое проходит звуковая волна за время \( \tau \), и расстояние, которое проходит машина за это время.

За время \( \tau \), машина проехала расстояние \( \Delta x_{mach} = v \cdot \tau \).

За это же время \( \tau \), первый фронт волны (испущенный в начале) достиг наблюдателя, пройдя расстояние \( d \).

Последний фронт волны (испущенный в конце) находится на расстоянии \( d - v \cdot \tau \) от наблюдателя, и он распространяется со скоростью \( c+u \) к наблюдателю. Первый фронт волны прошел расстояние \( d \) за время \( \tau \) (если бы машина стояла на месте и дул ветер) или \( d = (c+u)\tau \) (если бы машина стояла и был ветер).

Давайте рассмотрим изменение длины волны.

За время \( \tau \), машиной было испущено \( N = f_0 \tau \) колебаний.

Расстояние, которое прошло последнее колебание от машины до наблюдателя, равно \( L = (c+u)\tau - v\tau = (c+u-v)\tau \).

Это расстояние \( L \) содержит \( N \) полных колебаний.

Длина волны, воспринимаемая наблюдателем: \( \lambda' = L/N = (c+u-v)\tau / (f_0\tau) = (c+u-v)/f_0 \).

Частота, воспринимаемая наблюдателем: \( f' = \frac{c+u}{\lambda'} = \frac{c+u}{(c+u-v)/f_0} = f_0 \frac{c+u}{c+u-v} \).

Длительность сигнала, воспринимаемая наблюдателем, \( \tau' \) является обратной величиной частоты \( f' \):

\[ \tau' = \frac{1}{f'} = \frac{1}{f_0 \frac{c+u}{c+u-v}} = \frac{1}{f_0} \frac{c+u-v}{c+u} \]

Поскольку \( f_0 = 1/\tau \):

\[ \tau' = \tau \frac{c+u-v}{c+u} \]

Ответ: Длительность сигнала, воспринимаемого наблюдателем, равна \( \tau' = \tau \frac{c+u-v}{c+u} \).