2.209. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу: один из пункта А в пункт С, другой – из С в А. Встретившись на расстоянии 8 км от пункта А, они продолжили движение. Каждый из них, доехав до пункта назначения, разворачивается и едет назад. На обратном пути происходит вторая встреча велосипедистов. Найдите интервал возможных расстояний от пункта С до места второй встречи.

Решение:

Обозначим расстояние между пунктами А и С как \(S\) км.

Пусть \(v_1\) — скорость первого велосипедиста (из А в С), а \(v_2\) — скорость второго велосипедиста (из С в А).

Первая встреча:

Первый велосипедист проехал 8 км. Второй велосипедист проехал \(S - 8\) км.

Время до первой встречи одинаково для обоих:

\( t_1 = \frac{8}{v_1} = \frac{S-8}{v_2} \)

Из этого следует: \( 8v_2 = (S-8)v_1 \) или \( \frac{v_1}{v_2} = \frac{8}{S-8} \).

Вторая встреча:

К моменту второй встречи оба велосипедиста проехали суммарно \(3S\) км (туда-обратно и ещё треть пути).

Общее расстояние, которое проехали оба велосипедиста до второй встречи, равно \( 3S \).

Время до второй встречи \(t_2\).

Первый велосипедист проехал \( S + x \) км, где \(x\) — расстояние от пункта С до места второй встречи.

Второй велосипедист проехал \( S + (S-x) \) км, если x < S, или \( S + S - x \) км, если x > S. То есть \( 2S - x \) км.

Время до второй встречи:

\( t_2 = \frac{S+x}{v_1} = \frac{2S-x}{v_2} \)

Подставим отношение скоростей:

\( (S+x) \frac{v_2}{v_1} = 2S-x \)

\( (S+x) \frac{S-8}{8} = 2S-x \)

\( (S+x)(S-8) = 8(2S-x) \)

\( S^2 - 8S + Sx - 8x = 16S - 8x \)

\( S^2 - 8S + Sx = 16S \)

\( S^2 + Sx = 24S \)

Так как \( S \neq 0 \), разделим на \(S\):

\( S + x = 24 \)

\( x = 24 - S \)

Теперь нужно найти интервал возможных значений \(S\).

Условие первой встречи: \(0 < 8 < S\) (место встречи между А и С).

Условие второй встречи: \(0 ≤ x ≤ S\) (место встречи между А и С).

Подставляем \( x = 24 - S \) в условие \(0 ≤ x ≤ S\):

\( 0 ≤ 24 - S ≤ S \)

Рассмотрим два неравенства:

1. \( 0 ≤ 24 - S \) => \( S ≤ 24 \)
2. \( 24 - S ≤ S \) => \( 24 ≤ 2S \) => \( 12 ≤ S \)

Итак, \( 12 ≤ S ≤ 24 \).

Теперь найдём интервал для \(x\), используя \( x = 24 - S \) и условие \( 12 ≤ S ≤ 24 \).

Если \( S = 12 \), то \( x = 24 - 12 = 12 \).

Если \( S = 24 \), то \( x = 24 - 24 = 0 \).

Значит, \( 0 ≤ x ≤ 12 \).

Интервал возможных расстояний от пункта С до места второй встречи — от 0 км до 12 км.

Ответ: интервал от 0 до 12 км.