2.208. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу: один из пункта А в пункт С, другой – из С в А. Встретившись на расстоянии 9 км от пункта А, они продолжили движение. Каждый из них, доехав до пункта назначения, разворачивается и едет назад. Вторая встреча произошла на расстоянии 6 км от пункта С. Найдите расстояние между пунктами А и С и отношение скоростей велосипедистов.

Решение:

Обозначим расстояние между пунктами А и С как S.

Пусть скорость первого велосипедиста (из А в С) будет \( v_1 \), а скорость второго (из С в А) — \( v_2 \).

1. Первая встреча:
   Велосипедисты встретились на расстоянии 9 км от пункта А. Это означает, что первый велосипедист проехал 9 км, а второй — \( S - 9 \) км. Вместе они преодолели всё расстояние \( S \).
   Время до первой встречи: \( t = \frac{9}{v_1} = \frac{S - 9}{v_2} \).
2. После первой встречи:
   Каждый велосипедист продолжает движение до своего пункта назначения, а затем разворачивается.
   Первый велосипедист доезжает до С (проезжает \( S - 9 \) км) и начинает обратный путь.
   Второй велосипедист доезжает до А (проезжает 9 км) и начинает обратный путь.
3. Вторая встреча:
   Вторая встреча произошла на расстоянии 6 км от пункта С. Это означает, что второй велосипедист, двигаясь из А, проехал \( S - 6 \) км.
   Суммарное расстояние, которое проехали оба велосипедиста до второй встречи, равно удвоенному расстоянию между А и С, то есть \( 2S \), потому что они успели доехать до пунктов назначения и вернуться.
   Первый велосипедист до первой встречи проехал 9 км. До второй встречи он проехал ещё \( S - 9 \) (до С) + \( S - 6 \) (от С до места второй встречи).
   Общий путь первого велосипедиста до второй встречи: \( 9 + (S - 9) + (S - 6) = 2S - 6 \) км.
   Общий путь второго велосипедиста до второй встречи: \( S - 9 + 9 + 6 \) (до А и обратно до места второй встречи) = \( S + 6 \) км.
   Общее пройденное расстояние обоими велосипедистами до второй встречи равно \( (2S - 6) + (S + 6) = 3S \).
   Время до второй встречи: \( T = \frac{2S - 6}{v_1} = \frac{S + 6}{v_2} \).
4. Находим отношение скоростей:
   Из первой встречи: \( \frac{9}{v_1} = \frac{S - 9}{v_2} \) \(\Rightarrow \) \( \frac{v_1}{v_2} = \frac{9}{S - 9} \).
   Из второй встречи: \( \frac{2S - 6}{v_1} = \frac{S + 6}{v_2} \) \(\Rightarrow \) \( \frac{v_1}{v_2} = \frac{2S - 6}{S + 6} \).
   Приравниваем отношения скоростей: \( \frac{9}{S - 9} = \frac{2S - 6}{S + 6} \).
   Решаем уравнение:
   \( 9(S + 6) = (S - 9)(2S - 6) \)
   \( 9S + 54 = 2S^2 - 6S - 18S + 54 \)
   \( 9S + 54 = 2S^2 - 24S + 54 \)
   \( 0 = 2S^2 - 24S - 9S \)
   \( 0 = 2S^2 - 33S \)
   \( S(2S - 33) = 0 \)
   Так как расстояние \( S \) не может быть равно 0, то \( 2S - 33 = 0 \), откуда \( S = \frac{33}{2} = 16.5 \) км.
5. Находим отношение скоростей:
   Подставляем \( S = 16.5 \) км в одно из отношений скоростей:
   \( \frac{v_1}{v_2} = \frac{9}{S - 9} = \frac{9}{16.5 - 9} = \frac{9}{7.5} = \frac{90}{75} = \frac{6}{5} \).

Ответ: Расстояние между пунктами А и С равно 16,5 км. Отношение скоростей велосипедистов \( v_1 : v_2 = 6 : 5 \).