№1 a) Решите уравнение cos 2x - 3 sin (-x) - 2 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].

Решение:

а) Решим уравнение:

Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \) и свойство нечётности синуса \( \sin (-x) = -\sin x \).

Уравнение примет вид:

\[ 1 - 2\sin^2 x - 3(-\sin x) - 2 = 0 \]\[ 1 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0 \]\[ -2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0 \]\[ 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 \]

Сделаем замену переменной \( t = \sin x \). Получим квадратное уравнение:

\[ 2t^2 - 3t + 1 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]

Найдём корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1 \]\[ t_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} \]

Теперь вернёмся к замене \( t = \sin x \).

1. \( \sin x = 1 \)

\[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. \( \sin x = \frac{1}{2} \)

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]\[ x = \\[ \pi - \frac{\pi}{6} \\ ] + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

б) Укажем корни, принадлежащие отрезку \( [3\pi; \frac{9\pi}{2}] \).

Рассмотрим первую серию корней: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \).

• При \( n = 1 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \). \( 3\pi = \frac{6\pi}{2} \), \( \frac{9\pi}{2} \). \( \frac{5\pi}{2} \) не входит в отрезок.
• При \( n = 2 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} \). Этот корень входит в отрезок \( [3\pi; \frac{9\pi}{2}] \).

Рассмотрим вторую серию корней: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \).

• При \( n = 1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \). \( \frac{13\pi}{6} \) не входит в отрезок.
• При \( n = 2 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} \). \( 3\pi = \frac{18\pi}{6} \). \( \frac{25\pi}{6} \) входит в отрезок \( [3\pi; \frac{9\pi}{2}] \) так как \( \frac{18\pi}{6} \le \frac{25\pi}{6} \le \frac{27\pi}{6} \).

Рассмотрим третью серию корней: \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \).

• При \( n = 1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \). \( 3\pi = \frac{18\pi}{6} \). \( \frac{17\pi}{6} \) не входит в отрезок.
• При \( n = 2 \): \( x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \). \( \frac{9\pi}{2} = \frac{27\pi}{6} \). \( \frac{29\pi}{6} \) не входит в отрезок.

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \). б) \( \frac{9\pi}{2}, \frac{25\pi}{6} \).