194. Вычислите: a) 5⁻¹⁵ ⋅ 5¹⁶; б) (1/3)⁻⁴ ⋅ (1/3)³; в) 4⁻⁸ : 4⁻⁹; г) (1/5)² : (1/5)⁴; д) (2⁻²)⁻³; e) (0,1⁻³ )⁻¹.

Решение:

Используем свойства степеней:

• a) 5^-15 ⋅ 5¹⁶
  • При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: a^m ⋅ aⁿ = a^m+n.
  • \( 5^{-15} \cdot 5^{16} = 5^{-15 + 16} = 5^1 = 5 \)
• б) \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3
  • \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-4 + 3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3 \)
• в) 4^-8 : 4^-9
  • При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: a^m : aⁿ = a^m-n.
  • \( 4^{-8} : 4^{-9} = 4^{-8 - (-9)} = 4^{-8 + 9} = 4^1 = 4 \)
• г) \( \left(\frac{1}{5}\right)^2 : \left(\frac{1}{5}\right)^4
  • \( \left(\frac{1}{5}\right)^2 : \left(\frac{1}{5}\right)^4 = \left(\frac{1}{5}\right)^{2 - 4} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25 \)
• д) \( (2^{-2})^{-3}
  • При возведении степени в степень показатели перемножаются: (a^m)ⁿ = a^m⋅n.
  • \( (2^{-2})^{-3} = 2^{(-2) × (-3)} = 2^6 = 64 \)
• е) \( (0,1^{-3})^{-1}
  • \( (0,1^{-3})^{-1} = 0,1^{(-3) × (-1)} = 0,1^3 = 0,001 \)

Ответ: а) 5; б) 3; в) 4; г) 25; д) 64; е) 0,001.