19 Тип 17 і Задумали чётное трёхзначное число, которое больше 700, делится на 23 и последняя цифра которого не равна 0. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 396. Какое число было задумано?

Решение:

Обозначим задуманное число как \( \overline{abc} \), где \( a, b, c \) — цифры. По условию:

• Число чётное, значит \( c \in \{0, 2, 4, 6, 8} \).
• Число больше 700, значит \( a \in \{7, 8, 9} \).
• Последняя цифра не равна 0, значит \( c \in \{2, 4, 6, 8} \).
• Число делится на 23.
• Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, это \( \overline{cba} \).
• Разность равна 396: \( \overline{abc} - \overline{cba} = 396 \).

Распишем разность:

• \( (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 396 \)
• \( 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 396 \)
• \( 99a - 99c = 396 \)
• \( 99(a - c) = 396 \)
• \( a - c = \frac{396}{99} \)
• \( a - c = 4 \)

Теперь проверим возможные значения \( a \) и \( c \) из условий:

• Если \( a=7 \), то \( c = 7 - 4 = 3 \). Но \( c \) должно быть чётным. Не подходит.
• Если \( a=8 \), то \( c = 8 - 4 = 4 \). \( c=4 \) — чётное, и \( a=8 \) — больше 7. Это возможно.
• Если \( a=9 \), то \( c = 9 - 4 = 5 \). Но \( c \) должно быть чётным. Не подходит.

Итак, \( a=8 \) и \( c=4 \). Теперь нам нужно найти \( b \) такое, чтобы число \( \overline{8b4} \) делилось на 23.

Проверим числа, кратные 23, которые больше 700 и имеют вид \( 8b4 \):

• \( 23 \times 35 = 805 \)
• \( 23 \times 36 = 828 \)
• \( 23 \times 37 = 851 \)
• \( 23 \times 38 = 874 \)
• \( 23 \times 39 = 897 \)

Число, которое имеет вид \( 8b4 \) и делится на 23, это 874. Здесь \( b=7 \).

Проверим остальные условия:

• Число 874 — чётное (оканчивается на 4).
• Число 874 больше 700.
• Число 874 делится на 23 (874 / 23 = 38).
• Последняя цифра 4 не равна 0.
• Число, записанное в обратном порядке, это 478.
• Разность: \( 874 - 478 = 396 \). Все условия выполнены.

Ответ: 874