19. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы — прямые). 1) Размеры: ширина 5, глубина 1, высоты ступеней 2 и 3; верхний выступ имеет ширину 1 и высоту 3. 2) Размеры: высота основной части 2, ширина основания 3, глубина 2; высокий выступ шириной 1 и высотой 5, передний выступ шириной 1 и высотой 2. 3) Размеры: длина основания 4, глубина 4; высота нижней части 2, высота верхней части 5.

Для прямоугольного многогранника удобно сложить площади видимых и невидимых граней. Для ступенчатых тел используем также формулу: площадь поверхности призмы равна удвоенной площади поперечного сечения плюс периметр сечения, умноженный на глубину.

1) Сечение передней грани состоит из основания шириной 5 и высотой 2, а также верхнего выступа шириной 1 и высотой 3. Его площадь: 5 · 2 + 1 · 3 = 13. Периметр сечения: 5 + 2 + 4 + 3 + 1 + 5 = 20. Глубина равна 1.

Площадь поверхности: 2 · 13 + 20 · 1 = 46.

2) Поперечное сечение состоит из прямоугольника 3 × 2, высокого выступа 1 × (5 − 2) и переднего выступа 1 × 2. Площадь сечения: 3 · 2 + 1 · 3 + 1 · 2 = 11. Периметр сечения: 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 5 = 18. Глубина равна 2.

Площадь поверхности: 2 · 11 + 18 · 2 = 58.

3) Нижняя часть — прямоугольный параллелепипед 4 × 4 × 2, площадь поверхности которого равна 2(4 · 4 + 4 · 2 + 4 · 2) = 64. Верхняя часть имеет основание 4 × 4 и общую высоту 5; при добавлении её поверх нижней части внешняя площадь получается как у параллелепипеда 4 × 4 × 5: 2(4 · 4 + 4 · 5 + 4 · 5) = 112. Однако на рисунке верхняя часть начинается на высоте 2, то есть высота добавочного блока равна 5 − 2 = 3. Поэтому к площади нижнего блока добавляется площадь боковых граней верхнего блока, а его основание закрывает часть верхней грани нижнего блока: 64 + 4 · 4 · 0 + 4 · 4 · 0 + 4 · 4? Эквивалентно, это внешняя площадь параллелепипеда 4 × 4 × 5, поскольку верхний блок занимает всю площадь основания и общая форма имеет высоту 5. Получаем 112.

Ответ: 1) 46 кв. ед.; 2) 58 кв. ед.; 3) 112 кв. ед.