19. Какие из следующих утверждений верны? 1) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. 2) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон. 3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

Решение:

1. Утверждение 1: Неверно. Диагонали любой трапеции пересекаются, но делятся пополам только в частном случае — когда трапеция параллелограмм (прямоугольник или квадрат).
2. Утверждение 2: Верно. Площадь треугольника равна \( S = \frac{1}{2}ab \sin C \), где \( a \) и \( b \) — две стороны, а \( C \) — угол между ними. Так как \( \sin C \le 1 \), то \( S \le \frac{1}{2}ab \), что означает \( S < ab \) (так как \( \sin C \) редко равен 1, а если равен, то площадь ровно в два раза меньше).
3. Утверждение 3: Верно. В любом треугольнике сумма углов равна 180°. Если бы все три угла были больше 60°, то их сумма была бы больше 180°. Если бы два угла были больше 60°, то третий был бы меньше 60°. Значит, как минимум один угол должен быть меньше или равен 60°. Если все углы равны, то каждый угол равен 60°.

Ответ: 2, 3