19. Два автомобиля одновременно отправляются в 660-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 11 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость первого автомобиля, а \( v_2 \) — скорость второго автомобиля.

По условию задачи:

• Расстояние \( S = 660 \) км.
• Скорость первого автомобиля на 11 км/ч больше скорости второго: \( v_1 = v_2 + 11 \).
• Первый автомобиль прибывает на 2 часа раньше второго: \( t_1 = t_2 - 2 \).

Вспомним формулу зависимости скорости, расстояния и времени: \( t = \frac{S}{v} \).

Тогда:

• Время первого автомобиля: \( t_1 = \frac{660}{v_1} \).
• Время второго автомобиля: \( t_2 = \frac{660}{v_2} \).

Подставим выражения для \( v_1 \) и \( v_2 \) в уравнение \( t_1 = t_2 - 2 \):

\[ \frac{660}{v_1} = \frac{660}{v_2} - 2 \]

Заменим \( v_2 \) на \( v_1 - 11 \):

\[ \frac{660}{v_1} = \frac{660}{v_1 - 11} - 2 \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{660}{v_1} - \frac{660}{v_1 - 11} = -2 \]

Умножим обе части на \( v_1(v_1 - 11) \) (при условии \( v_1
e 0 \) и \( v_1
e 11 \)):

\[ 660(v_1 - 11) - 660v_1 = -2v_1(v_1 - 11) \]

Раскроем скобки:

\[ 660v_1 - 7260 - 660v_1 = -2v_1^2 + 22v_1 \]

Упростим:

\[ -7260 = -2v_1^2 + 22v_1 \]

Перенесем все в левую часть:

\[ 2v_1^2 - 22v_1 - 7260 = 0 \]

Разделим на 2:

\[ v_1^2 - 11v_1 - 3630 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4(1)(-3630) = 121 + 14520 = 14641 \]

Найдем \( \sqrt{D} \):

\[ \sqrt{14641} = 121 \]

Найдем корни \( v_1 \):

\[ v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm 121}{2} \]

Получаем два значения:

• \( v_1 = \frac{11 + 121}{2} = \frac{132}{2} = 66 \) км/ч
• \( v_1 = \frac{11 - 121}{2} = \frac{-110}{2} = -55 \) км/ч

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Ответ: Скорость первого автомобиля — 66 км/ч.