Частица «всё-таки» указывает на то, что действие (попросить прощения) является логичным или желательным, несмотря на возможные сомнения или обстоятельства.
Разбор:
Частица: всё-таки
Значение: указывает на то, что что-то произойдет или должно произойти, несмотря на возможные препятствия или сомнения.