18. В треугольнике ABC проведена биссектриса BK. Через точку K проведена прямая, параллельная стороне BC и пересекающая сторону AB в точке M. а) Докажите, что треугольник MBK — равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника AMK, если AB = 10, BC = 15, а площадь треугольника ABC равна 30√2.

а) Так как BK — биссектриса угла ABC, то ∠ABK = ∠KBC. Из параллельности MK и BC следует, что ∠BKM = ∠KBC. Значит, ∠ABK = ∠BKM. Поскольку M лежит на AB, ∠MBK = ∠ABK, поэтому ∠MBK = ∠BKM. В треугольнике MBK равным углам противолежат равные стороны: MK = MB.

Следовательно, треугольник MBK равнобедренный.

б) По теореме о биссектрисе:

\(\dfrac{AK}{KC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}\), поэтому \(\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{2}{2+3}=\dfrac{2}{5}\).

Так как \(MK\parallel BC\), треугольники AMK и ABC подобны с коэффициентом подобия \(\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{2}{5}\). Отношение их площадей равно квадрату коэффициента:

\(S_{AMK}=S_{ABC}\cdot\left(\dfrac{2}{5}\right)^2=30\sqrt{2}\cdot\dfrac{4}{25}=\dfrac{24\sqrt{2}}{5}.\)

Ответ: а) \(MB=MK\); б) \(S_{AMK}=\dfrac{24\sqrt{2}}{5}\).