18. Тип 16 № 1336 Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

Пусть углы при основании равны $$\alpha$$. Тогда угол при вершине равен $$180° - 2\alpha$$. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны и образуют равные углы с основанием. Рассмотрим треугольник ABM. Угол BAM равен $$\alpha$$. Угол ABM равен $$180° - 2\alpha$$. Сумма углов в треугольнике ABM равна 180°. Угол AMB = $$180° - \alpha - (180° - 2\alpha) = \alpha$$.

В треугольнике BCM, угол CBM равен $$180° - 2\alpha$$. Угол BCM равен $$\alpha$$. Угол BMC = $$180° - (180° - 2\alpha) - \alpha = \alpha$$.

По условию, угол ВМС = 140°. Следовательно, $$\alpha = 140°$$. Это невозможно, так как углы треугольника должны быть меньше 180°. Пересмотрим условие. Высоты пересекаются в точке М. Рассмотрим треугольник, образованный вершиной А и точками пересечения высот с боковыми сторонами. Углы при основании равны $$\alpha$$. Угол при вершине $$180° - 2\alpha$$. Угол между высотами, проведенными к боковым сторонам, равен углу при вершине. Следовательно, угол между высотами равен $$180° - 2\alpha$$. Угол ВМС смежный с углом между высотами. Угол ВМС = $$180° - (180° - 2\alpha) = 2\alpha$$.

По условию, угол ВМС = 140°. Значит, $$2\alpha = 140°$$, откуда $$\alpha = 70°$$.

Углы треугольника: $$70°, 70°, 180° - 2*70° = 40°$$.