18. Решите уравнение 1 4 +--12=0. x²+x

Решение:

Приведём уравнение к общему знаменателю \( x(x^2+x) \), учитывая, что \( x \neq 0 \) и \( x^2+x \neq 0 \) (т.е. \( x(x+1) \neq 0 \), \( x \neq 0, x \neq -1 \)).

\[ \frac{1}{x^2+x} + \frac{4}{x} - 12 = 0 \]\[ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{4(x+1)}{x(x+1)} - \frac{12x(x+1)}{x(x+1)} = 0 \]\[ 1 + 4(x+1) - 12x(x+1) = 0 \]\[ 1 + 4x + 4 - 12x^2 - 12x = 0 \]\[ -12x^2 - 8x + 5 = 0 \]\[ 12x^2 + 8x - 5 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-5) = 64 + 240 = 304 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{304} = \sqrt{16 \cdot 19} = 4\sqrt{19} \]

Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 4\sqrt{19}}{2 \cdot 12} = \frac{-8 + 4\sqrt{19}}{24} = \frac{-2 + \sqrt{19}}{6} \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 4\sqrt{19}}{2 \cdot 12} = \frac{-8 - 4\sqrt{19}}{24} = \frac{-2 - \sqrt{19}}{6} \]

Оба корня не равны 0 и -1.

Ответ: \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{19}}{6}, x_2 = \frac{-2 - \sqrt{19}}{6} \).