18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник. Найди его площадь.

Решение:

Для нахождения площади треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, воспользуемся тем, что площадь одной клетки равна \( 1 \times 1 = 1 \) квадратной единице.

Метод 1: Разделение треугольника на простые фигуры.

Представим, что треугольник находится внутри прямоугольника, стороны которого параллельны осям координат. Проведём линии, образующие этот прямоугольник, и вычислим площадь прямоугольника. Затем вычтем площади прямоугольных треугольников, которые находятся внутри прямоугольника, но вне данного треугольника.

Исходя из изображения, можно предположить, что вершины треугольника находятся в точках с координатами (примерно): \( A(0,0) \), \( B(4,3) \), \( C(7,0) \).

Площадь такого треугольника можно найти как площадь трапеции, если одна из сторон перпендикулярна оси X, или используя формулу с координатой вершин.

Проще всего разбить этот треугольник на более простые фигуры или использовать метод вычитания из площади большого прямоугольника.

Давайте используем метод вычитания. Построим прямоугольник, охватывающий треугольник. Пусть одна вершина будет в (0,0). Тогда другие вершины могут быть (7,0), (0,3) и (4,3). Это не совсем то, что на рисунке. Рисунок показывает, что одна вершина на одной из линий сетки, другая — на другой, а третья — на пересечении.

Давайте пересчитаем клетки. Пусть одна вершина находится в точке \( (0,0) \). Другая вершина находится на расстоянии 7 клеток вправо и 3 клетки вверх, т.е. \( (7,3) \). Третья вершина находится на расстоянии 4 клеток вправо от первой и на одной линии с первой, т.е. \( (4,0) \). Это создаёт треугольник.

Площадь большого прямоугольника со сторонами 7 и 3 равна \( 7 \times 3 = 21 \) кв. ед.

Площадь прямоугольного треугольника 1 (слева): основания 4, высота 3. Площадь \( \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \) кв. ед.

Площадь прямоугольного треугольника 2 (справа): основания \( 7 - 4 = 3 \), высота 3. Площадь \( \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5 \) кв. ед.

Площадь данного треугольника = Площадь прямоугольника - Площадь треугольника 1 - Площадь треугольника 2 = \( 21 - 6 - 4.5 = 10.5 \) кв. ед.

Метод 2: Формула площади треугольника по координатам вершин.

Пусть вершины треугольника имеют координаты \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \).

Площадь \( S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \).

Исходя из рисунка, координаты вершин можно принять за:

\( A(0,0) \) (левый нижний угол, где сходятся две линии сетки)

\( B(4,3) \) (верхняя вершина)

\( C(7,0) \) (правая нижняя вершина)

\( S = \frac{1}{2} |0(3 - 0) + 4(0 - 0) + 7(0 - 3)| \) = \( \frac{1}{2} |0 + 0 + 7(-3)| \) = \( \frac{1}{2} |-21| \) = \( \frac{21}{2} = 10.5 \) кв. ед.

Метод 3: Площадь треугольника как половина произведения основания на высоту.

Возьмём основание треугольника, которое лежит на горизонтальной линии сетки. Длина основания равна 7 клеткам.

Высота треугольника, опущенная на это основание, равна 3 клеткам.

Площадь \( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 7 \times 3 = \frac{21}{2} = 10.5 \) кв. ед.

Ответ: 10.5.