18. Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найди расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB = 120° и MA = 18.

Радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны касательным. Поэтому треугольник AOM прямоугольный, а OM делит угол AOB пополам: ∠AOM = 60°.

В прямоугольном треугольнике AOM угол при O равен 60°, значит ∠AMO = 30°. Против угла 30° лежит радиус OA, поэтому гипотенуза OM вдвое больше OA. Из теоремы Пифагора или соотношения в треугольнике 30°–60°–90° получаем MA = OA√3, следовательно, OA = 18/√3 = 6√3.

Хорда AB стягивает центральный угол 120°. Перпендикуляр из O к AB делит хорду пополам и угол пополам; в образовавшемся прямоугольном треугольнике половина хорды равна OA·sin 60° = 6√3·√3/2 = 9.

Ответ: AB = 18.